Calcule os produtos

a)6.10

R:60

b)45.10
R:450

c)4.100

R:400

d)59.100

R: 5900

e)7.1000

R:7000

f)82.1000
R:82000

É só vocês colocarem o número é acrescentar os zeros.

ATENÇÃO PESSOAL!

ESPERO QUE TENHAM GOSTADO, NÃO DEIXE DE CURTIR E COMPARTILHAR COM SEUS AMIGOS, ISTO ME AJUDA A CRESCER E TRAZER SEMPRE NOVOS CONTEÚDOS PARA VOCÊS.

UM GRANDE ABRAÇO, ATT ELIAS JUNIO DE MELLO.

(UFPR) Sabendo-se que sen x = 2/3, x e 1 Q, então sen 2x vale:


RESPOSTA LETRA D

ATENÇÃO PESSOAL!

ESPERO QUE TENHAM GOSTADO, NÃO DEIXE DE CURTIR E COMPARTILHAR COM SEUS AMIGOS, ISTO ME AJUDA A CRESCER E TRAZER SEMPRE NOVOS CONTEÚDOS PARA VOCÊS.

UM GRANDE ABRAÇO, ATT ELIAS JUNIO DE MELLO.

Determine a soma das alternativas em que aparecem soluções (x,y,z) da equação x+3y-z=8

RESPOSTA NUMERO 01 E 02

RESOLUÇÃO LOGO ACIMA:



ATENÇÃO PESSOAL!

ESPERO QUE TENHAM GOSTADO, NÃO DEIXE DE CURTIR E COMPARTILHAR COM SEUS AMIGOS, ISTO ME AJUDA A CRESCER E TRAZER SEMPRE NOVOS CONTEÚDOS PARA VOCÊS.

UM GRANDE ABRAÇO, ATT ELIAS JUNIO DE MELLO.

O valor do cos (r /2 +x) é equivalente a :


RESPOSTA LETRA D) - SEN X




ATENÇÃO PESSOAL!

ESPERO QUE TENHAM GOSTADO, NÃO DEIXE DE CURTIR E COMPARTILHAR COM SEUS AMIGOS, ISTO ME AJUDA A CRESCER E TRAZER SEMPRE NOVOS CONTEÚDOS PARA VOCÊS.


UM GRANDE ABRAÇO, ATT ELIAS JUNIO DE MELLO.

(USF-SP) A partir dos valores de sen 30°, cos 30°, sen 45°, é possivel determinar o de sen 75°, que é igual a:


RESPOSTA LETRA D, RESOLUÇÃO LOGO ACIMA!

ATENÇÃO PESSOAL!

ESPERO QUE TENHAM GOSTADO, NÃO DEIXE DE CURTIR E COMPARTILHAR COM SEUS AMIGOS, ISTO ME AJUDA A CRESCER E TRAZER SEMPRE NOVOS CONTEÚDOS PARA VOCÊS.

UM GRANDE ABRAÇO, ATT ELIAS JUNIO DE MELLO.

A pressão atmosférica em plutão corresponde a 0,30 PA. sabendo que em vénus a pressão é 90 vezes maior que a da terra, compare a diferença de pressão entre plutão e vénus.

RESPOSTA:

Pelo o que o problema forneceu, em vénus a pressão atmosférica é 90 . (1 atm) = 90 . (1,013.10^5 PA) = 9,117 . 10^6 PA. Comparando com a pressão de plutão, podemos dizer que em vénus a pressão é cerca de 30,39 . 10^6 PA maior que em plutão.

Ao redor de uma piscina retangular com 10 m de comprimento por 5 m de largura sera construída um revestimento de nandeira com x metros de largura representado na figura a seguir:

RESPOSTA:

A1 = Area da piscina = 10*5 = 50 m2

A2 = area total = (10 + 2)*(5 + 2) = 4x2 + 30x + 50

area de madeira = A2 - A1 = 4x2 + 30x

Como tenho 87,75 disponivel de area 4x2 + 30x = 87,75

resulta x = 2, 25 m para x

Como montei meu negócio do Zero, e Hoje faturo R$30.000,00 mil reais por mês!

Por Robison Sá

Introdução

Buscar clareza para as ideias obscuras e confusas daqueles que ingressam nos processos de aprendizagem, ou ainda para aqueles que sentem dificuldades em aprender os conteúdos ministrados de forma grosseira e com alto teor de complexidade é – e sempre será – o meu principal objetivo.
Pertenço ao pequeno, mas poderoso, exército de educadores preocupados em produzir um ensino palpável, compreensível até mesmo àqueles alunos com dificuldades de aprendizagem. Não por que sou o redentor dos processos educativos, nem tampouco um ser superdotado de saberes que se sobrepõem aos dos demais colegas de profissão, mas, acima de tudo, por que sou um sonhador, por que imagino um ambiente onde todos possam ter acesso a uma educação de qualidade e possam verdadeiramente usufruir dos seus direitos constitucionais.

A divisibilidade

Cotidianamente utilizamos diversos conhecimentos, de diversas áreas do conhecimento humano, para resolver problemas pontuais ou até mesmo processuais. O fato é que o nosso poder de raciocinar nos dar subsídios para lidarmos com as diferentes problemáticas através do uso de múltiplas ferramentas lógico-matemáticas – também de outras áreas – das quais tomamos posse por meio do contato com o ensino formal das culturas e das ciências, mas também pelo conhecimento informal, adquirido por meio da interação social, isto é, do convívio diário com os diferentes aspectos e subjetividades dos indivíduos sociais pertencentes a uma verdadeira sopa cultural.
É importante que o indivíduo conheça os caminhos pelos quais chegou à determinada conclusão; que ele seja capaz de demonstrar suas teorias e resoluções de problemas; que esteja apto a compartilhar as suas descobertas por meio de argumentos válidos e claros para os seus receptores. Porém, é da mesma forma importante que esse indivíduo possua os atalhos necessários às tomadas de decisões imediatas; que possuam respostas compactas para os questionamentos momentâneos; que saibam sintetizar suas ideias nos momentos em que as situações lhes exijam raciocínio rápido e resposta imediata.
Para ilustrar esses momentos da convivência humana, vamos tomar posse de algumas técnicas matemáticas que facilitam a resolução de problemas relacionados à divisão básica e, consequentemente, a resolução de expressões numéricas de maior complexidade. Essas técnicas já são trabalhadas pela maioria dos educadores matemáticos nas escolas do ensino fundamental, porém, aqui, tentarei ilustrá-las melhor, contextualizando-as em situações-problemas possíveis de ocorrerem na realidade do leitor.

Técnicas de divisibilidade

Divisão por 2

Um número é divisível por dois quando o seu algarismo das unidades simples (o último algarismo da direita para a esquerda) for par, ou ainda quando esse algarismo for zero.

• 656 → divisível por 2
• 14698 → divisível por 2
• 95647 → não-divisível por 2

SITUAÇÃO-PROBLEMA: Paula, após arcar com as despesas mensais, conseguiu juntar R$ 324,00 para dividir igualmente entre suas duas filhas, Marta e Gabrielly. O valor obtido com a divisão ela depositará na poupança de cada uma delas. Qual o valor do depósito que será realizado em cada poupança?
Analisando a situação: Precisamos saber se o número 324 poderá ser dividido igualmente em duas partes (por 2). Segundo a técnica da “divisão por 2” este número é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, ou seja, par. Sendo assim, podemos prosseguir com a resolução do problema.
Dividindo 324 por 2, obteremos exatos 162, atestando a técnica de divisibilidade descrita acima.
Conclusão: cada poupança receberá um depósito de R$ 162,00.

Divisão por 3

Um número é divisível por três quando a soma de seus algarismos absolutos for também divisível por três.

• 855 → 8+5+5 = 18, como 18 é divisível por 3, podemos afirmar que 855 também será.

No exemplo acima, ainda poderemos somar 1 a 8 para facilitar a resposta: 1+8 = 9, sendo que 9 também é divisível por 3, atestamos que 855 também será.

• 25 848 → 2+5+8+4+8 = 27 = 2+7 = 9  →     O número 25848 é divisível por 3.
• 274       → 2+7+4 = 13 = 1+3 = 4              →     O número 274 não é divisível por 3.

Obs.: podemos realizar múltiplas adições até  que sobre apenas um algarismo como resultado destas adições. Isso facilitará a nossa resposta. Em casos em que na primeira soma já se saiba se o número inteiro é divisível por 3, não precisaremos prosseguir com as adições.
SITUAÇÃO-PROBLEMA: Um fazendeiro, ao falecer, deixou de herança 1026 hectares de terra para seus três filhos. Na hora de dividir a terra entre os três, um dos jovens lançou a seguinte interrogação: irmãos será possível dividir essa quantidade de terra igualmente entre nós três? Vamos respondê-lo com os nossos conhecimentos.
Analisando a situação: o que temos que saber é se o número 1026 é divisível por 3. Simples, utilizando a técnica da “divisão por 3, temos que:

• 1026 = 1+0+2+6 = 9, como 9 é divisível por 3, 1026 também será.

Conclusão: a resposta ao irmão que realizou o questionamento seria “sim, é possível dividir 1026 hectares igualmente entre os três”.

Divisão por 4

Um número é divisível por quatro quando o número formado pelos seus últimos algarismos (unidade simples e dezena simples) forem também divisíveis por 4 ou terminarem em 00 (zero, zero).

• 128 → 28:4 = 7 → como o agrupamento dos dois últimos algarismos foi um número divisível por 4, o número 128 também será divisível por 4.
• 7900 → como o número 7900 termina em 00, ele é divisível por 4.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: do pequeno sítio de Dona Zefinha foram colhidas 1200 laranjas. Para vendê-las, ela quer distribui-las igualmente em quatro caixotes. Será possível fazer essa distribuição?
Analisando a situação: para sabermos se é possível distribuir igualmente em quatro caixotes 1200 laranjas, é preciso somente saber se o número 1200 é divisível por 4. Pela técnica de “divisão por 4”, temos:
O número 1200 termina em 00, portanto é divisível por 4
1200:4 = 300 → Cada caixa conterá 300 laranjas.
Conclusão: é possível distribuir as 1200 laranjas igualmente nos quatro caixotes.

Divisão por 5

Um número é divisível por cinco quando terminar em zero ou cinco.

• 25 680 → Como esse número termina em zero, ele é divisível por cinco;
• 152 → Como esse número não termina nem em zero nem em cinco, ele não é divisível por cinco;
• 5685 → Por terminar em cinco, esse número é divisível por cinco.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: Num bingo, cinco ganhadores conseguiram acertar as pedras premiadas. O prêmio, um valor de R$ 3525,00, relativo a um percentual de arrecadação pela venda das cartelas terá, desta forma, que ser dividido igualmente entre os cinco ganhadores. Qual será o valor recebido por cada um deles como resultado desta divisão?
Analisando a situação: o número 3525, por terminar em cinco, é divisível por 5. Sendo assim, basta efetuarmos a divisão do valor total do prêmio (3525) pelo número de ganhadores (5) → 3525:5 = 705.
Conclusão: Cada ganhador receberá um valor de R$ 705,00.

Divisão por 6

Um número é divisível por seis quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

• 5286 → 5+2+8+6 = 21 (divisível por 3); termina em algarismo par (6) (divisível por 2). Portanto 5286 é também divisível por 6.
• 957 → 9+5+7 = 21 (divisível por 3);  não termina em algarismo par. Portanto 957 não é divisível por 6.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: gostaria de dividir minhas 226 figurinhas igualmente entre eu e meus cinco colegas de escola, para que pudéssemos brincar de colar figurinhas. A minha dúvida é: será que com essa quantidade de figurinhas conseguirei realizar esta divisão de forma exata?
Analisando a situação: devemos saber se o número 226 é divisível por 6, pois “eu”, mais os “meus” cinco colegas “formamos” seis pessoas. Vejamos a possibilidade de divisão: 2+2+6 = 10 (não é divisível por 3); termina em algarismo par (divisível por 2). Este número não é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
Conclusão: O número 226 não é divisível por 6, portanto “eu” não conseguirei fazer a divisão exata das minhas figurinhas nas condições do problema.

Outras Considerações

• Um número será divisível por 9, quando atender os mesmos critérios da divisão por 3, isto é, a soma de seus algarismos absolutos formar um número também divisível por 9;
• Um número será divisível por 8, quando terminar em 000 (zero, zero, zero) ou quando os últimos 3 dígitos forem divisíveis por 8;
• Um número será divisível por 10 se terminar em 0.
• Todo número é divisível por 1;
• Não existe divisão por zero;
• Todo número dividido por ele próprio resulta 1.

Olá, na matéria de hoje vou mostrar a definição e o modo prático para se calcular a derivada de um função explícita (y ou f(x) isolado). No próximo artigo, vou mostrar algumas propriedades da diferenciação.

- Definição:

OBS: Para usar a definição, é necessário um conhecimento prévio sobre Limites.

Definição:

Lim    f(x+Δx) - f(x)
Δx >> 0      Δx

- Método prático:

OBS: Esse método só serve para derivadas de uma função potência (não exponencial natural).

Método Prático: Dx(x^n) = n.x^n-1 (leia-se Derivada de x elevado a n é igual a n multiplicado por x elevado a n-1.

  Exemplo: f(x) = x³ então f'(x) = 3x² .

A EXPRESSÃO COSX + 1SENX
                            1+senx     cos x   é igual a:



RESOLUÇÃO:














RESPOSTA: C) 2sec x

A partir dos valores de sen 30º, cos 30º, sen 45º, é possivel determinar o de sen 75º, que é igual a:




RESOLUÇÃO >>>>>>>>>>
RESPOSTA : D)  /2 + /6       
                                 4

RAIZ DE 2 + RAIZ DE 6 SOBRE 4

Passeio pela história

O uso da matemática financeira é muito remoto. Sua utilidade se faz presente na vida humana desde que o homem percebeu a existência da relação entre o dinheiro e o tempo. De fato há uma proximidade muito grande entre essas duas grandezas. Para ter uma ideia, os sumérios antigos deixaram registrados em tábuas, vastos conhecimentos sobre a matemática comercial e financeira, isto é, os sumérios já demonstravam conhecimentos que iam desde notas promissórias, juros simples e compostos e faturas, até hipotecas e escrituras de venda. Os sumérios utilizavam tábuas na realização de seus cálculos. Em alguns casos, era necessário o uso de várias tábuas de cálculo, devido à dificuldade do problema.

Juros compostos

Diferente dos juros simples, o juro composto é calculado sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro período é que os juros são calculados sobre o capital inicial.

Através da fórmula abaixo, poderemos calcular o montante adquirido ao longo do tempo em que certa quantia fica submetida ao regime de juros compostos.

Montante (M)     -     Capital (C)     -     Taxa (i)       -      Período de tempo (t)

M = C . (1 + i)^t

Para encontrar somente juros basta subtrairmos o capital inicial do montante encontrado. Vejam a fórmula:

J = M – C

● Um capital de R$ 640,00 foi aplicado durante três meses a uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Quantos reais de juros rendeu essa aplicação?

M = ?       C = 640,00      i = 2% = 0,02     t = 3 meses

Lembrete: a taxa, para ser substituída na fórmula, deverá estar escrita em números decimais.

M = C . (1 + i)^t

M = 640 . (1 + 0,02)³

M = 640 . (1,02)³

M = 640 . 1,061208

M = R$ 679,17

J = M – C

J = 679,17 – 640,00

J = R$ 39,17

Conclusão: Esta aplicação rendeu R$ 39,17 de juros.

● Um capital de R$ 5000,00, aplicado a uma taxa de juros compostos de 4% a.m por um período de cinco meses renderá quanto de juros?

M = ?        C = 5000,00       i = 4% a.m = 0,04       t = 5 meses

M = C . (1 + i)^t

M = 5000 . (1 + 0,04)⁵

M = 5000 . (1,04)⁵

M = 5000 . 1,2166529024

M = R$ 6083,26

M = R$ 6083,26

J = M – C

J = 6083,26 – 5000,00

J = R$ 1083,26

Conclusão: esta aplicação renderá R$ 1083,26.

É muito importante e prático, que nas resoluções de problemas contendo juros compostos, seja feito o uso de uma calculadora comum ou financeira. Isso torna o cálculo menos enfadonho e mais preciso.

“O que sentimos ao beber doses de conhecimentos é a lubrificação do espírito antes travado pela ferrugem da ignorância.”

Robison Sá.

Referências bibliográficasSOUZA, JOAMIR ROBERTO DE; PATARO, PATRÍCIA ROSANA MORENO. Vontade de saber matemática, 9° ano. São Paulo: FTD, 2009. – (Coleção vontade de saber)
Porcentagem. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Porcentagem. Acesso em: 10 de dezembro de 2012.
Juros compostos. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/emedio/finan3.php. Acesso em: 11 de dezembro de 2012.

Em matemática, a área de uma superfície é o número de unidades de área que ela contém.

Circunferência  é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é fixa. O ponto dado é o centro, a distância fixa é o raio da circunferência. Ou seja, circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do centro. Representa o contorno da região circular. Por exemplo, um anel.

Círculo  (ou disco) é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância (não nula) fixa dada. É o contorno e o interior da região circular. Por exemplo, a pizza não tem só o contorno tem a parte interna.

Temos nas figuras abaixo polígonos regulares inscritos em circunferências:

• pentágono (cinco lados)
• hexágono (seis lados)
• decágono (dez lados)
• dodecágono (doze lados)
• icoságono (vinte lados)

Podemos observar que quanto maior o número de lados do polígono regular mais próximo ele fica da circunferência. Então a circunferência pode ser vista como um polígono regular de infinitos lados. Calculando a área desse polígono regular de infinitos lados (ou seja, n lados), obtemos:

, onde p é o perímetro do polígono regular, e a é o apótema do polígono regular.

Vimos que quanto maior o número de lados do polígono regular mais próximo ele fica da circunferência, então podemos dizer que o perímetro do polígono é o comprimento da circunferência, e o apótema do polígono fica igual ao raio do círculo. Como podemos ver na figura do icoságono (vinte lados). Isto é, fixado um círculo, de raio r, considerando os polígonos regulares inscritos nesse círculo, com o crescimento do número de lados as áreas dos polígonos se aproximam da área do círculo, assim como os seus perímetros se aproximam do perímetro do círculo e os apótemas se aproximam do raio do círculo.

Com isso podemos substituir o perímetro do polígono regular pelo comprimento da circunferência, e o apótema pelo raio do círculo, ou seja,

p = 2 πr
a = r

Portanto obtemos:

Chegamos à conclusão que a área do círculo é o valor extremo da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

Referências Bibliográficas

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Geometria II. Rio de Janeiro: F. C. Araújo da Silva, 2002.

Espaço amostral: para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral S o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.

Exemplos:
Jogar um dado e observar o número da face de cima.
Então; S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Jogar duas moedas e observar o resultado.
Então: S = {(cara, cara), (cara, coroa),(coroa, cara),(coroa, coroa)}

Observe que o conjunto S pode ser finito ou infinito.

Evento: é um conjunto de resultados do experimento, em termos de conjuntos, é um subconjunto S. em particular, S e Φ (conjunto vazio) são eventos. S é dito o evento certo e Φ o evento impossível.

Se usarmos as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos:

a) A ∩ B → é o evento que ocorre se A ocorreu ou B ocorre ou ambos ocorrem;
b) A ∪ B → evento que ocorre se A e B ocorrerem;
c) Ā → é o evento que ocorre se A não ocorre.

Exemplo: Considere o experimento: jogar duas moedas e observar os resultados:
S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}

Evento A: ocorrer faces iguais.
Logo A = {(c, c), (k, k)}

Eventos mutuamente exclusivos

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se AB = Φ

Exemplo: Considere o experimento: jogar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sejam os eventos:
A = ocorrer número par e B = ocorrer números impar.
Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}

A e B são considerados mutuamente exclusivos pois A ∩ B = Φ

Certas vezes nos encontramos diante de situações simples e básicas que podem ser elaboradas, exemplificadas e até mesmo solucionadas com o conhecimento matemático.

Um exemplo claro do uso do conhecimento matemático nessas simples situações é quando precisamos saber o tamanho de certas coisas, logo sabemos que essas medidas que procuramos correspondem também ao uso das unidades de medida correspondentes. Um terreno por exemplo, além da área que possui, também possui medidas laterais independente da natureza que é formado esse terreno - quadrado, retângulo, trapézio, etc -. Se tratarmos de um terreno retangular com dimensões laterais de 12m e 25m, sabemos que sua área é 300m². Isso significa que se quisermos calçar o terreno devemos comprar o material necessário para 300m², mas por outro lado se falarmos por exemplo, em cercar esse mesmo local, falaremos em perímetro.

O perímetro de um determinado lugar é a soma das medidas de seus lados. Pegando as dimensões do terreno citado acima temos: 12 m e 25m. Somando a medida de seus lados temos que o perímetro do terreno é igual a 74m (12m + 25m + 12m + 25m).

Se necessitarmos obter o perímetro de uma figura geométrica qualquer por exemplo, devemos observar primeiro a natureza da figura, ou seja, quantos lados possui: pentágono 5 lados, eneágono 9 lados, triângulo 3 lados, e depois realizar a soma das medidas de todos os lados para achar o perímetro.

As figuras geométricas que trabalhamos inicialmente no estudo de perímetro são as figuras planas, partindo das definições sobre figuras planas, a palavra polígono aparece na grande maioria delas. Toda linha chamada linha poligonal  fechada, podemos  dizer que é uma figura geométrica plana, sendo possível calcular o perímetro em qualquer figura desse tipo.

Portanto nas figuras geométricas planas ou linhas poligonais fechadas é possível determinarmos seu perímetro fazendo a soma dos lados.

Cuidado nas possíveis interpretações de áreas e perímetros de figuras geométricas planas, são coisas extremamente distintas.

Bibliografia:
Fundamentos de matemática elementar volume 9 e volume 10. Gelson Iezzi.
Tudo é matemática-Ensino fundamental. Dante
Matemática para o ensino médio. Volume único. Jackson Ribeiro.

Nasceu em 4 de janeiro de1643 na Inglaterra em uma família de agricultores. Como seu pai morreu antes do seu nascimento, ele foi criado pela avó.

Em 1661 foi para Cambridge. Estudou a filosofia de Aristóteles, Descartes, Gassendi, Boyle, Viète (álgebra e geometria analítica), Wallis, Copérnico e Galileu (astronomia) e Kepler.

Em 1665, Isaac Newton começou a se aprofundar na matemática, ótica, física e astronomia.

Seus esforços valeram a pena, pois em 1669 (com 27 anos) foi nomeado para substituir o colega Isaac Barrow e ocupar a cadeira Lucasiana de Matemática em Cambridge.

Em 1672, foi eleito membro da Sociedade Real após doar um telescópio refletor. Ainda neste ano, ele publicou seu primeiro trabalho sobre luz e cor.

Em 1687, foi publicado “Principia”, considerado o livro científico mais importante que já foi escrito.

Em 1693, ele sofreu um colapso nervoso e abandonou a pesquisa para ocupar uma posição no governo em Londres (Guardião da Moeda Real – 1696 e Mestre – 1699).

Em 1703, foi eleito Presidente da Sociedade Real sendo reeleito todos os anos até a sua morte em 31 de março de 1727.

Alguns de seus estudos e pesquisas

* Telescópio de reflexão
* Decomposição da luz pelos prismas
* Formação de uma hipótese sobre a natureza da luz
* Teorema do binômio e do cálculo integral e diferencial

A vida deste grande homem pode ser dividida em 3 etapas:

* 1643 – 1669: da juventude até a graduação
* 1669 – 1687: quando foi professor Lucasiano em Cambridge
* 1693 em diante: funcionário do Governo

Seu maior trabalho foi o “Estudo da Lei da Gravitação Universal”. Através deste estudo, ele concluiu que os corpos celestes se atraem de acordo com suas massas e suas distâncias.

Segundo Newton: “O equilíbrio do universo é garantido pela gravidade”.

São vários os momentos em matemática, bem como em outras áreas do conhecimento, que a evolução do problema em resolução acaba desembocando em equações de 2º grau ou em funções polinomiais de 2º grau (funções quadráticas). Por este motivo, o conhecimento dos processos de resolução desse tipo de equação é importante e, além disso, necessário.

Muitos povos contribuíram para a descoberta e aperfeiçoamento da resolução de equações de grau 2, a exemplo dos árabes, hindus e babilônios. Para se ter uma ideia da idade histórica desses problemas, há aproximadamente 2000 a.C. os babilônios já conheciam e resolviam equações de 2º grau, em parte dos casos com a ajuda de figuras geométricas.

Este trabalho trata, prioritariamente, do discriminante encontrado na fórmula resolutiva, conhecida também por fórmula de Bhaskara, suas particularidades e operacionalidades.

O discriminante (Δ)

A fórmula resolutiva para equações completas e incompletas do 2º grau é , onde .

O discriminante, representado pela letra grega Δ (lê-se “delta”) corresponde ao radicando da fórmula resolutiva e tem o valor do coeficiente b elevado à segunda potência, menos o produto de quatro pelos coeficientes a e c.

Coeficientes são números reais que acompanham as incógnitas, no caso de a e b, ou é independe das incógnitas, no caso de c.

A representação geral de uma equação de 2º grau é:

ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.

Particularidades de Δ

Algumas peculiaridades do discriminante merecem atenção. Veja cada uma delas:

1. Δ = 0. Quando o discriminante é igual à zero a equação de 2º grau apresenta duas raízes reais iguais.

Ex.: Resolva a equação x² – 6x + 9 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = – 6 e c = 9.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 6)² – 4.1.9

Δ = 36 – 36

Δ = 0

x² – 6x + 9 = 0

2. Δ > 0. Quando o valor do discriminante é maior que zero, a equação apresenta duas raízes reais diferentes.

Ex.: Resolva a equação x² + 3x – 4 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = 3 e c = – 4.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b² – 4ac

Δ = (3)² – 4.1.(– 4)

Δ = 9 – 16

Δ = 25

x² + 3x – 4 = 0

3.  Δ < 0. Quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais (em R).

Ex.: Determine o conjunto solução da equação quadrática x² + 5x + 7 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = 5 e c = 7.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b² – 4ac

Δ = 5² – 4.1.(7)

Δ = 25 – 28

Δ = – 3

x² + 5x + 7 = 0

Portanto, o conjunto solução desta equação é: .

“Nem todos os caminhos que levam ao sucesso são fáceis.”

(Robison Sá)

Referência bibliográfica:BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, 9º ano. – 7. ed. – São Paulo: Moderna, 2011