Área do Círculo

Em matemática, a área de uma superfície é o número de unidades de área que ela contém.

Circunferência  é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é fixa. O ponto dado é o centro, a distância fixa é o raio da circunferência. Ou seja, circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do centro. Representa o contorno da região circular. Por exemplo, um anel.

Círculo  (ou disco) é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância (não nula) fixa dada. É o contorno e o interior da região circular. Por exemplo, a pizza não tem só o contorno tem a parte interna.

Temos nas figuras abaixo polígonos regulares inscritos em circunferências:

• pentágono (cinco lados)
• hexágono (seis lados)
• decágono (dez lados)
• dodecágono (doze lados)
• icoságono (vinte lados)

Podemos observar que quanto maior o número de lados do polígono regular mais próximo ele fica da circunferência. Então a circunferência pode ser vista como um polígono regular de infinitos lados. Calculando a área desse polígono regular de infinitos lados (ou seja, n lados), obtemos:

, onde p é o perímetro do polígono regular, e a é o apótema do polígono regular.

Vimos que quanto maior o número de lados do polígono regular mais próximo ele fica da circunferência, então podemos dizer que o perímetro do polígono é o comprimento da circunferência, e o apótema do polígono fica igual ao raio do círculo. Como podemos ver na figura do icoságono (vinte lados). Isto é, fixado um círculo, de raio r, considerando os polígonos regulares inscritos nesse círculo, com o crescimento do número de lados as áreas dos polígonos se aproximam da área do círculo, assim como os seus perímetros se aproximam do perímetro do círculo e os apótemas se aproximam do raio do círculo.

Com isso podemos substituir o perímetro do polígono regular pelo comprimento da circunferência, e o apótema pelo raio do círculo, ou seja,

p = 2 πr
a = r

Portanto obtemos:

Chegamos à conclusão que a área do círculo é o valor extremo da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

Referências Bibliográficas

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Geometria II. Rio de Janeiro: F. C. Araújo da Silva, 2002.